完全分裂图上的沙堆模型：$q,t$-Schröder多项式、锯齿多联骨牌和一个循环引理

本文研究了阿贝尔沙堆模型在完全分裂图上的排序递归构型。我们引入了两种自然的倾倒过程，CTI和ITC倾倒，作用于递归构型，并利用它们定义了两个倾倒延迟统计量，wtopple$_{CTI}$和wtopple$_{ITC}$。这些新的倾倒延迟统计量是倾倒过程每次迭代中倾倒顶点数量的时间加权和。然后我们引入了双变量$q,t$-CTI和$q,t$-ITC多项式，它们是双统计量（level, wtopple$_{ITC}$）和（level, wtopple$_{CTI}$）的生成函数，其中level是已建立的沙堆水平统计量。我们证明了双统计量（level, wtopple$_{ITC}$）映射到Schröder路径上的双统计量（area, bounce），该双统计量由Egge、Haglund、Killpatrick和Kremer（2003）引入。这建立了$q,t$-ITC多项式与这些作者提出的$q,t$-Schröder多项式的相等性。这一联系使我们能够将$q,t$-ITC多项式与对称函数理论联系起来，并建立了$q,t$-ITC多项式的对称性。我们猜想$q,t$-CTI和$q,t$-ITC多项式相等。我们还提出并证明了排序递归构型的一个刻画，即一类新的多联骨牌，我们称之为锯齿多联骨牌。证明了排序递归构型上的CTI和ITC倾倒过程对应于多联骨牌内的弹跳路径。两种弹跳路径之间的主要区别在于它们初始行进的方向。除此之外，基于Aval、D'Adderio、Dukes和Le Borgne（2016）的结果，我们提出了一个针对稳定构型轻微扩展的循环引理，允许在沙堆模型框架内枚举排序递归构型。