多边形花的沙堆群

设 $C_t$ 为长度为 $t$ 的圈，设 $P_1,\ldots,P_t$ 为 $t$ 条多边形链。多边形花 $F=(C_t; P_1,\ldots,P_t)$ 是一种图，通过将 $C_t$ 的第 $i$ 条边与属于 $P_i$ 末端多边形的边 $e_i$ 重合而得到，其中 $i=1,\ldots,t$。本文首先给出 $F$ 的沙堆群 $S(F)$ 的显式公式，表明 $S(F)$ 的结构仅依赖于 $P_i$ 与 $P_i/ e_i$ 的生成树个数，$i=1,\ldots,t$。通过分析这些数的算术性质，我们给出 $S(F)$ 最小生成元个数的简单公式，并由此得到 $S(F)$ 为循环群的充要条件。最后，我们得到了生成沙堆群的边的分类。尽管主要结果仅涉及一类外平面图，本文所用证明方法可能具有更广泛的兴趣。我们利用图结构找到一组生成元和一个关系矩阵 $R$，该矩阵对任意 $F$ 具有相同形式，且规模远小于（约化）拉普拉斯矩阵——后者是研究图沙堆群最常用的关系矩阵。