多边形环与扭曲多边形环的沙堆群

设 $C_{k_1}, \ldots, C_{k_n}$ 为具有 $k_i\geq 2$ 个顶点（$1\le i\le n$）的圈。将这些 $n$ 个圈按线性顺序连接，得到称为多边形链（polygon chain）的图。将这些 $n$ 个圈按循环顺序连接，得到一种图：若能嵌入平面则称为多边形环（polygon ring）；若能嵌入 Möbius 带则称为扭曲多边形环（twisted polygon ring）。已知多边形链的沙堆群总是循环的，且存在边生成元。本文中，我们不仅证明任意（扭曲）多边形环的沙堆群可由至多三条边生成，还给出了这些边之间显式的关系矩阵。因此我们获得了计算任意（扭曲）多边形环沙堆群以及（扭曲）多边形环生成树数量的统一方法。作为应用，我们计算了若干无限族多边形环的沙堆群，包括一些此前用特设方法处理过的，如广义轮图、梯图和 Möbius 梯图。