$\alpha$-伸缩在 Cartoon 逼近中的作用

Cartoon 类函数经典地定义为分段 $C^2$ 函数，由光滑区域和分隔它们的 $C^2$ 不连续曲线组成，是图像数据的一个成熟模型。对该类函数最优逼近的追求促成了 curvelet、contourlet 和 shearlet 等方法的发展。由于抛物线伸缩，这些系统能够提供阶为 $N^{-2}$ 的准最优 $N$-项逼近率。用 $\alpha$-伸缩代替抛物线伸缩，可以得到 $\alpha$-curvelet 和 $\alpha$-shearlet，它们在小波型系统（$\alpha=1$）、抛物线伸缩系统（$\alpha=\frac12$）和 ridgelet 型系统（$\alpha=0$）之间进行插值。先前的研究表明，在 $\alpha\in[\frac{1}{2},1)$ 范围内，它们对正则性为 $C^{1/\alpha}$ 的 cartoon 提供了阶为 $N^{-1/\alpha}$ 的准最优逼近。在本工作中，我们继续探索 $\alpha$-伸缩表示系统，旨在更好地理解参数 $\alpha$ 在逼近中的作用。对于 $\alpha<1$ 的 $\alpha$-curvelet，我们证明了对于具有弯曲边缘的 cartoon，可达到的最佳 $N$-项逼近率最多被限制在 $N^{-1/(1-\alpha)}$，与 cartoon 的平滑度无关。通过简单阈值化框架系数可达到的最大率甚至被 $N^{-1/\max\{\alpha,1-\alpha\}}$ 所界定。如果 cartoon 的边缘是直的，$\alpha$-curvelet 的逼近性能则有所不同：假设具有 $C^\beta$ 正则性，我们建立了阶为 $N^{-\min\{\alpha^{-1},\beta\}}$ 的逼近率，当 $\alpha\in [0,\beta^{-1}]$ 时该率是准最优的。最后，通过 $\alpha$-分子框架，所获得的结果被扩展到其他 $\alpha$-伸缩系统，特别是包括 $\alpha$-shearlet。