基于通用剪切波系统的图像修复渐近分析

最近提出的结合应用调和分析与压缩感知的图像修复算法已被证明非常成功。其中一个关键要素是精心选择的表示系统，该系统能提供原始图像的（最优）稀疏近似。由于通常假设图像主要由各向异性特征主导，方向性表示系统常被采用。此类系统的一个突出例子是剪切波（shearlets），其额外优势在于能够实现忠实的数值实现。数值结果表明，在图像修复任务中，剪切波显著优于小波。其中一个软件包 www.shearlab.org 甚至提供了为每个尺度使用不同参数的灵活性，而这尚未被现有的剪切波理论所涵盖。在本文中，我们首先引入与任意缩放序列相关联的通用剪切波系统，从而对上述灵活性进行建模。此外，这种新构造允许在小波和剪切波之间平滑过渡，因此使我们能够以统一的方式分析它们。对于一大类此类缩放序列，我们首先证明相关的通用剪切波系统构成了由 Schwartz 函数组成的 $L^2(\mathbb{R}^2)$ 的带限 Parseval 框架。其次，我们在分布模型情境下，利用用于重建的 $\ell^1$-分析最小化算法，分析了此类通用剪切波系统在图像修复中的性能。该部分的主要结果表明，只要缩放序列与（依赖于尺度的）缺口大小相当，在足够细的尺度下即可实现近乎完美的图像修复。