曲率率 λ：神经网络输入空间尖锐度的标量度量

曲率影响泛化、鲁棒性以及神经网络对微小输入扰动的响应可靠性。现有的尖锐度度量通常定义在参数空间中（例如，Hessian 特征值），并且可能计算代价高、对重参数化敏感，且难以从函数角度解释。我们引入了一个直接定义在输入空间中的标量曲率度量：曲率率 λ，由高阶输入导数的指数增长率给出。经验上，λ 被估计为 log ||D^n f|| 相对于 n（小 n 值）的斜率。这种增长率视角统一了经典解析量：对于解析函数，λ 对应于收敛半径的倒数；对于带限信号，它反映了频谱截止。同一原理也适用于神经网络，其中 λ 追踪了决策边界中高频结构的出现。在解析函数和神经网络（Two Moons 和 MNIST）上的实验表明，λ 在训练过程中可预测地演化，并且可以通过一个简单的基于导数的正则化器——曲率率正则化（CRR）直接塑造。与尖锐度感知最小化（SAM）相比，CRR 在实现相似准确率的同时，产生了更平坦的输入空间几何形状并改善了置信度校准。通过将曲率建立在微分动力学的基础上，λ 为学习模型的函数平滑度提供了一个紧凑、可解释且参数化不变的描述符。