深度卷积神经网络理论 II：球面分析

基于各种结构与架构的深度神经网络的深度学习在许多实际应用中表现强大，但缺乏足够的理论验证。本文中，我们考虑一类应用于逼近 $\mathbb{R}^d$ 的单位球面 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上函数的深度卷积神经网络。当被逼近函数位于 Sobolev 空间 $W^r_\infty (\mathbb{S}^{d-1})$（$r>0$）或取加性脊形式时，我们的分析给出了一致逼近的速率。我们的工作从理论上验证了后接下采样与一层或两层全连接层的深度卷积神经网络的建模与逼近能力。我们球面分析的关键思想是使用球谐函数空间再生核的内积形式，然后应用滤波器的卷积分解来实现所生成的线性特征。