康托尔集同胚的 Rokhlin 引理

对于康托尔集 $X$,令 $Homeo(X)$ 表示 $X$ 的所有同胚构成的群。本注记的主要结果如下定理。设 $T\in Homeo(X)$ 为一个非周期同胚,设 $\mu_1,\mu_2,...,\mu_k$ 为 $X$ 上的 Borel 概率测度,$\e> 0$,以及 $n \ge 2$。则存在闭开集 $E\subset X$ 使得集合 $E,TE,..., T^{n-1}E$ 互不相交且 $\mu_i(E\cup TE\cup...\cup T^{n-1}E) > 1 - \e, i= 1,...,k$。给出了该结果的若干推论。特别地,证明了对于任意非周期的 $T\in Homeo(X)$,所有与 $T$ 共轭的同胚之集在全体非周期同胚之集中是稠密的。