环 $\mathrm{M}_{8k+4}(\mathbb{Z}_2)$ 是指标为四的幂零 clean 环

我们证明，奇数个矩阵 $$C=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&1 \end{array}\right)$$ 的直和不能是 $\mathbb{F}_2$ 上满足 $P^2=P$ 与 $Q^3=O$ 的矩阵 $P+Q$ 之和。