Riesz $\alpha$-能量的对数凹函数及其相关闵可夫斯基问题

我们计算了对 log-凹函数 $f$ 进行 Asplund 和的变分。这种变分公式诱导 log-凹函数 $f$ 的 Riesz $\alpha$-能量测度，记为 $\mathfrak{R}_{\alpha}(f, \cdot)$。我们提出相关的 Riesz $\alpha$-能量闵可夫斯基问题，旨在寻找预给定在 $\Rn$ 中定义的布尔测度 $\mu$ 的必要条件和/或充分条件，使得 $\mu=\mathfrak{R}_{\alpha}(f,\cdot)$ 对某个 log-凹函数 $f$ 成立。在假设足够平滑的条件下，Riesz $\alpha$-能量闵可夫斯基问题化为一个涉及 Riesz $\alpha$-势的新的 Monge-Amp\`{e}re 类型方程。此外，新的闵可夫斯基问题可视为 Lutwak、Xi、Yang 和 Zhang(2024 年发表于 Comm.\ Pure\ Appl.\ Math. 的)关于弦测度的积分几何中最近提出的闵可夫斯基问题的函数论对应问题。将在 $\mu$ 上的某些温和条件下求解 Riesz $\alpha$-能量闵可夫斯基问题。