非三等流形的有理（非）形式性

设$M^{(k)}_{d}(n)$为具有非$k$等坐标的$n$元组$(x_1,\ldots,x_n)\in(\mathbb{R}^d)^n$的流形。我们证明，对于$d\geq2$，$M^{(3)}_{d}(n)$是有理形式的当且仅当$n\leq 6$。这与所有经典配置空间$M^{(2)}_d(n)=\text{Conf}(\hspace{.2mm}\mathbb{R}^d,n)$都是有理形式的这一事实形成鲜明对比，正如所有具有几何交格结构的任意复子空间排列的补集一样。对于$n>6$，$M^{(3)}_{d}(n)$的有理非形式性是通过检测通过庞加莱对偶评估的非平凡三重Massey积来建立的。