基于 Stein 方法的某些渐近卡方分布统计量的收敛速率

我们基于近期关于多元正态随机变量函数的 Stein 方法的研究，推导某些渐近卡方分布统计量的收敛速率的界。我们得到了一些一般性的界，并建立了光滑检验函数收敛速率达到 $n^{-1}$ 阶的一些简单充分条件。这些一般性界被应用于比较 $n$ 次试验中 $r$ 种处理的 Friedman 统计量，以及用于 $n$ 次试验和 $r$ 个分类的拟合优度的一类幂散度统计量，其指标参数 $\lambda\in\mathbb{R}$（Pearson 统计量对应 $\lambda=1$）。对于任一处理数 $r\geq2$，我们得到了 Friedman 统计量收敛速率的 $O(n^{-1})$ 界。对于任一 $r\geq2$，当 $\lambda$ 为正整数或任意大于 5 的实数时，我们也得到了幂散度统计量收敛速率的 $O(n^{-1})$ 界。我们猜想 $O(n^{-1})$ 速率对任意 $\lambda\in\mathbb{R}$ 成立。