量子 Witten-Kontsevich 级数与单部分双 Hurwitz 数

我们研究由 Buryak、Dubrovin、Guéré 和 Rossi 在 \cite{buryak2016integrable} 中引入的量子 Witten-Kontsevich 级数，作为量子 KdV 层级的量子 tau 函数的对数。该级数依赖于一个亏格参数 $\epsilon$ 和一个量子参数 $\hbar$。当 $\hbar=0$ 时，该级数退化为稳定曲线模空间上 psi 类交数的 Witten-Kontsevich 生成级数。我们建立了量子 Witten-Kontsevich 级数的 $\epsilon=0$ 部分与单部分双 Hurwitz 数之间的联系。这些数统计了从亏格为 $g$ 的黎曼曲面到 $\mathbb{P}^{1}$ 的非等价全纯映射的个数，其在 $0$ 处有给定的分歧轮廓，在 $\infty$ 处为完全分歧，并在其他地方有给定数量的简单分歧。Goulden、Jackson 和 Vakil 在 \cite{goulden2005towards} 中证明了这些数具有在 $0$ 处分歧阶数上为多项式的性质。我们证明了这些多项式的系数正是量子 Witten-Kontsevich 级数的系数。我们还给出了关于完整量子 Witten-Kontsevich 幂级数的一些部分结果。