关于双 Hurwitz 数的 Goulden-Jackson-Vakil 猜想

Goulden、Jackson 和 Vakil 观察到单部分双 Hurwitz 数底层的多项式结构，其枚举了 $\mathbb{CP}^1$ 的分支覆盖，在 $\infty$ 处有规定的分歧轮廓、在 0 处有唯一原像、其余处为简单分支。这引导他们猜想存在模空间与 tautological 类，其交理论产生单 Hurwitz 数著名 ELSV 公式的类似物。本文中，我们给出三个公式，将单部分双 Hurwitz 数表达为某些模空间上的交数。第一个涉及至分类空间的稳定映射模空间上的 Hodge 类；第二个涉及自旋曲线模空间上的 Chiodo 类；第三个涉及稳定曲线模空间上的 tautological 类。我们进而根据 Goulden、Jackson 和 Vakil 所阐明的期望性质列表讨论这些公式的优点。我们的公式导致了稳定曲线模空间上 tautological 交数之间的非平凡关系，并暗示了 Chiodo 类底层的进一步结构。本文以将结果推广至自旋 Hurwitz 数情形作结。