量子漫步特征多项式区分所有素数阶的强正则图

设 $G$ 为阶为素数 $p$ 且连接度 $k \geq 6$ 的强正则图。我们证明了量子漫步特征多项式 $\chi_q(G,\lambda) \coloneqq \det(\lambda I - U_G)$（其中 $U_G$ 为 $G$ 上的硬币型量子漫步算子）在同一阶数下的所有强正则图中完全确定 $G$ 的同构类型。该证明包含三个步骤：首先，我们展示 $U_G$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 上的离散傅里叶变换下进行块对角化，从而得到 $p$ 个大小为 $k \times k$ 的块 $U_G^{(j)}$。其次，我们证明了显式公式\n\n$$\chi_q\!\bigl(U_G^{(j)}, \lambda\bigr) = (\lambda-1)^{(k-2)/2}(\lambda+1)^{(k-2)/2} \!\left(\lambda^2 - \tfrac{2\widehat{A}_G(j)}{k}\,\lambda + 1\right),$$\n\n从而恢复傅里叶系数 $\widehat{A}_G(j)$ 作为 $U_G^{(j)}$ 唯一不等于 $\pm 1$ 的特征值的实部。最后，逆离散傅里叶变换恢复 $G$ 的连接集合 $S$，而 Turner 定理（1967）确定 $G$ 的同构类型。因此，在该类别中可在多项式时间内使用量子漫步谱进行图同构判定，无需使用 Babai（2016）的一般准多项式算法。