量子化墙 Brauer 代数与混合张量空间

本文研究了由 Leduc 先前引入的墙 Brauer 代数的多参数形变 $\mathfrak{B}_{r,s}^n(a,\lambda,\delta)$。我们构建了 $\mathfrak{B}_{r,s}^n(a,\lambda,\delta)$ 的一个整基，该基由有向缠结构成，并与墙 Brauer 图一一对应。此外，我们研究了 $\mathfrak{B}_{r,s}^n(q)= \mathfrak{B}_{r,s}^n(q^{-1}-q,q^n,[n]_q)$ 在混合张量空间上的自然作用，并证明其核在基环 $R$ 上是自由的，且秩独立于 $R$。作为一个应用，我们证明了混合张量空间 Schur-Weyl 对偶性的一侧：对于 $R$ 和参数 $q$ 的所有选择，$\mathfrak{B}_{r,s}^n(q)$ 在混合张量空间的 $R$-自同态环中的像，正是通过 Lusztig 整形式特化的广义线性李代数 $\mathfrak{gl}_n$ 的量子化包络代数 $\mathbf{U}$ 在混合张量空间上作用的自同态代数。因此，混合张量空间的 $R$-线性自同态环中的 $\mathbf{U}$-不变量由 $\mathfrak{B}_{r,s}^n(q)$ 的作用生成。