与 Grassmann 项链相关的集系的纯性

在研究拟交换量子 minors 问题时，Leclerc 和 Zelevinsky 于 1998 年引入了 $[n]:=\{1,\ldots, n\}$ 中弱分离集的概念。此外，他们针对这种对称关系提出了若干关于纯性的猜想，特别是关于布尔立方体 $2^{[n]}$ 的猜想。我们在 0909.1423[math.CO] 中证明了关于布尔立方体 $2^{[n]}$、离散 Grassmannian ${[n]\choose r}$ 以及其他一些集系的这些纯性猜想。Oh、Postnikov 和 Speyer 在 arxiv:1109.4434 中证明了包含定义正拟阵的 Grassmann 项链 $\mathcal N$ 的正拟阵内弱分离集的纯性。我们将此类集系记为 $\mathcal{I}nt(\mathcal N )$。在本文中，我们给出了 $\mathcal{I}nt(\mathcal N )$ 纯性的另一种（且更简短的）证明，并提出了一个更强的结果。更确切地说，我们在某种意义上引入了一个与 $\mathcal{I}nt(\mathcal N )$ 互补的集系 $\mathcal{O}ut(\mathcal N )$，并确立了其纯性。此外，我们证明了（定理 3）这两个集系彼此之间是弱分离的。作为定理 3 的推论，我们获得了与成对弱分离项链相关的集系的纯性（命题 4 及推论 1 和 2）。最后，我们提出了一个关于广义项链内部和外部纯性的猜想。