项链、排列与二次多项式的周期临界轨道

设 $G_n$ 为第 $n$ 个格勒尔多项式，其根对应于临界点 $0$ 在迭代 $z^2 + c$ 下恰好为周期 $n$ 的参数 $c$。令 $\bar{G}_n$ 为 $G_n$ 对 2 取模后的化简。Buff、Floyd、Koch 和 Parry 做出了这样一个令人惊讶的观察：$G_n$ 的实根数等于 $\bar{G}_n$ 的不可约因子数，对所有 $n$ 均如此。我们通过提供显式双射给出该结果的证明：首先给出 (a) $G_n$ 的实根集与在反转映射（交换 $0$ 与 $1$）下 $n$ 长原基二进制项链等价类集合 $\bar{N}(n)$ 之间的显式双射；以及 (b) $G_n$ 对 2 取模后的不可约因子集与要么长度为 $n$ 且含奇数个 $1$ 的原基二进制项链集合，要么长度为 $n/2$ 且含奇数个 $1$ 的原基二进制项链集合 $\tilde{N}^+(n)$ 之间的显式双射。随后，我们提供一个与 Milnor 与 Thurston 的 kneading theory 密切相关的双射，将 $\bar{N}(n)$ 与 $\tilde{N}^+(n)$ 建立起来。此外，我们提供显式双射，将 $\bar{N}(n)$、循环单调排列集合 ${\rm CUP}(n)$ 以及长度为 $n$ 且含奇数个 $1$ 的原基二进制项链集合 $N^-(n)$ 彼此建立起来。