弱分离、纯域与簇距离

继弱分离集合的纯性猜想获证之后，近年来在不同背景下揭示了纯性的各种更广泛实例。在本文中，我们考虑与两个固定集合$I$和$J$弱分离的集合的集合$\mathcal A_{I,J}$。我们证明，只要$I$和$J$足够“一般”，所有按包含关系极大的弱分离集合$\mathcal W\subset\mathcal A_{I,J}$按大小也是极大的。我们还给出了一个用$I$和$J$表示$\mathcal W$基数的简单公式。我们将我们的结果应用于计算簇距离，并给出Grassmannian坐标环上的簇代数结构中簇变量之间突变距离的下界。利用一个将弱分离与八面体递推联系起来的线性投影，我们还找到了一族簇变量的精确突变距离和簇距离。