紧度量空间中簇测度与距离分布的相互依赖

给定一个紧度量空间 $(X, \rho)$。设 $\mu$ 为 $X$ 上的 Borel 测度。所谓 $r$-簇，是指直径至多为 $r$ 的 $X$ 的可测子集。若来自该族的任意两个簇之间的距离至少为 $r$，则称 $k$ 个 $2r$-簇的族为 $k$ 阶 $r$-簇结构。簇结构的测度是指该簇结构中各簇测度之和。利用 Blaschke 选择定理可以证明存在最大测度的簇结构 $\mathcal{X}^*$。我们研究 $\mu(\mathcal{X}^*)$ 对距离分布的依赖关系。主要问题在于寻找距离分布的限制条件，以保证 $\mu(\mathcal{X}^*)$ 接近于 $\mu(X)$。我们提出了距离分布的离散化方法，并基于此离散化给出了 $\mu(\mathcal{X}^*)$ 的一个下界。