紧度量空间中簇结构测度的改进界限

给定一个紧度量空间 $(X, \rho)$。设 $\mu$ 为 $X$ 上的 Borel 测度。所谓 $r$-簇，是指直径至多为 $r$ 的 $X$ 的可测子集。若来自该族的任意两个簇之间的距离至少为 $r$，则称 $k$ 个 $2r$-簇的族为 $k$ 阶 $r$-簇结构。簇结构的测度是指该簇结构中各簇测度之和。在我们之前的工作中，我们证明了在距离分布的某些参数限制下，最大簇结构的测度 $\mu(\mathcal{X})^*$ 接近于 $\mu(X)$，且当相应参数趋于 0 时 $\mu(\mathcal{X})^*$ 的下界收敛于 $\mu(X)$。然而，该下界在渐近意义下是不可改进的。我们提出了距离分布的一个附加限制，它负责簇结构中簇测度的平衡。这一限制使得在渐近意义上可以显著改进先前的下界。