改进的聚类谱范数界

旨在统一关于分离条件下分布混合体聚类的已知结果，Kumar 和 Kannan [2010] 引入了一种用于数据集聚类的确定性条件。他们表明，这一单一的确定性条件涵盖了许多先前研究过的聚类假设。具体而言，他们的邻近条件要求：在目标 $k$-聚类中，点 $x$ 在其聚类中心 $\mu$ 与另一中心 $\mu'$ 连线上的投影，距离 $\mu$ 比距离 $\mu'$ 近一个较大的加法因子。该加法因子大致可描述为 $k$ 乘以代表给定（已知）数据集与（未知）目标聚类均值之间差异矩阵的谱范数。显然，邻近条件蕴含了中心分离——任意两个中心之间的距离必须至少达到上述界限。本文在多个方面改进了 Kumar 和 Kannan 的工作。首先，我们将中心分离界限放宽了 $\sqrt{k}$ 倍；其次，我们将邻近条件放宽了 $k$ 倍。利用这些较弱的界限，当所有点均满足邻近条件时，我们仍能获得相同的保证。此外，当仅有 $(1-\epsilon)$ 比例的点满足较弱的邻近条件时，我们也获得了更好的保证。我们分析的主体仅依赖于中心分离，在此条件下可产生一种聚类，其具有：(i) 低误差，(ii) 低 $k$-means 代价，以及 (iii) 非常接近目标中心的聚类中心。我们改进的分离条件使我们能够匹配 McSherry [2001] 的植入划分模型的结果，改进 Ostrovsky 等人 [2006] 的结果，并在特定设定下改进高斯混合模型的分离结果。