在最优分离条件下对有界协方差分布混合的聚类

我们在细粒度分离假设下研究有界协方差分布混合的聚类问题。具体而言，给定来自 $k$-分量混合分布 $D = \sum_{i =1}^k w_i P_i$ 的样本，其中对于某个已知参数 $\alpha$ 满足每个 $w_i \ge \alpha$，且每个 $P_i$ 具有未知协方差 $\Sigma_i \preceq \sigma^2_i \cdot I_d$（对于某个未知 $\sigma_i$），目标是在假设每对分量 $P_i$ 和 $P_j$ 之间存在 $(\sigma_i+\sigma_j)/\sqrt{\alpha}$ 量级的成对均值分离的情况下对样本进行聚类。我们的贡献如下：对于近乎均匀混合的特例，我们给出了首个用于此聚类任务的多项式时间算法。先前的工作要么要求分离程度与最大聚类标准差（即 $\max_i \sigma_i$）成比例 [DKK+22b]，要么要求额外的结构假设且均值分离程度与 $1/\alpha$ 呈大阶多项式关系 [BKK22]。对于一般权重混合，我们指出在我们的细粒度均值分离假设下，精确聚类在信息论上是不可能的。我们引入了聚类细化的概念——一个由不太小的子集组成的列表，满足类似的分离条件，并且可以合并为近似真实聚类的聚类——并证明可以高效地计算出样本的精确聚类细化。此外，在先前工作 [BKK22] 中“无大子聚类”条件的一个变体下，我们证明我们的算法输出的是精确聚类，而不仅仅是细化，即使对于一般权重混合也是如此。作为推论，我们获得了适用于良态高维对数凹分布混合的高效聚类算法。此外，我们的算法对 $\Omega(\alpha)$ 比例的对抗性异常值具有鲁棒性。