Beltrami-Vekua 方程的伪解析质量

每个光滑的一阶实平面椭圆系统都可接受一个通用的复数形式 $w_{\bar z} - \mu w_z + \mathcal{A} w + \mathcal{B} \bar w = \mathcal{F}$，我们将其称为 Beltrami-Vekua 方程：数据 $(\mu, \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{F})$ 通过代数运算和微分从原系统中产生，无需任何额外的 PDE。我们研究了乘法规范 $w \mapsto \phi w$ 和 orientation-preserving 微分同构的联合作用。我们的主要结果是 2-形式 $\Theta = |\mathcal{B}|^2 / (1 - |\mu|^2) \, dx \, dy$ 是规范不变的，并且在微分同构下 pullback covariantly；其形式是被强制的，其中 $|\mathcal{B}|^2$ 是唯一在 $\mathcal{B} \mapsto \mathcal{B}\phi/\bar\phi$ 下不变的 $\mathcal{B}$-二次组合，$1 - |\mu|^2$ 来自微分同构对 $\mu$ 的法则。总质量 $\mathcal{M}(D) = \int_\Omega \Theta$，即“伪解析质量”，恰好在 $\mathcal{B} \equiv 0$ 的解析类中消失，并将一个由两两不等的伪解析方程在圆盘上的连续族分离开来。作为副产品，Vekua 的两阶段归约——均匀化然后规范消除——只需要求解一个单一的变系数 PDE：Beltrami 微分同构为平坦的 $\bar\partial$ 方程提供了积分因子。