平摊回溯对在线图问题的威力

在本工作中，我们研究具有单调和目标的在线图问题。我们提出一种通用的双重贪婪算法，其参考标尺算法以实现 $t$-竞争性，同时产生至多 $\frac{w_{\text{max}}\cdot(t+1)}{\min\{1, w_\text{min}\}\cdot(t-1)}$ 的平摊回溯，其中 $w_{\text{max}}$ 和 $w_{\text{min}}$ 是可分配给和中元素的最大值与最小正值。我们进一步表明，通过谨慎选择所参考的算法并调优其详细行为，该通用算法可在三个经典图问题上得到改进。对于独立集，我们精炼了通用算法的分析，并表明可用 $\frac{t}{t-1}$ 的平摊回溯实现 $t$-竞争性。对于最大基数匹配，我们限制算法的贪婪性，表明可用 $\frac{(2-t^*)}{(t^*-1)(3-t^*)}+\frac{t^*-1}{3-t^*}$ 的平摊回溯实现 $t$-竞争性，其中 $t^*$ 是满足对某个整数 $j$ 有 $t^*= 1 +\frac{1}{j} \leq t$ 的最大数。对于顶点覆盖，我们表明我们的算法在多项式时间内对任意有限实例保证严格小于 $2$ 的竞争比，同时产生至多 $3.33$ 的平摊回溯。我们通过使用最优解作为参考而不计算它，在多项式时间内击败了几乎不可打破的 $2$-近似。我们注意到，这一在线结果可用作离线近似结果（不违反唯一博弈猜想），以部分改进 Monien 与 Speckenmeyer 的构造性算法。