在线加权匹配：打破$\frac{1}{2}$壁垒

在线匹配及其变体是在线算法文献中最基本的问题之一。本文中，我们研究在线加权二分匹配问题。Karp等人(STOC 1990)给出了未加权情形下达到紧竞争比$1-1/e$的优雅算法。然而在加权情形下，我们容易证明若无普遍接受的自由处置假设，则无法获得任何竞争比。在此假设下，不难证明贪心算法具有$1/2$竞争性，且对于确定性算法这是紧的。我们提出了首个打破这一长期存在的$1/2$壁垒并实现至少$0.501$竞争比的随机化算法。鉴于Kapralov等人(SODA 2013)关于单调子模福利最大化问题突破$1/2$竞争比受限的困难性结果，我们的结果可被视为有力证据，表明在在线设定下求解加权二分匹配问题严格易于子模福利最大化。我们的方法依赖于对随机性的非常受控的使用，这使得我们的算法能够基于先前的分配安全地做出自适应决策。