单量子比特的威力：双向量子有限自动机与字问题

由 Ambainis 和 Watrous 定义的带量子与经典状态的双向有限自动机（2QCFA）是一种量子计算模型，其量子部分极为有限；然而，正如他们所展示的，2QCFA 出奇地强大：一个具有单量子比特的 2QCFA 能在期望多项式时间内以有界错误识别语言 $L_{eq}=\{a^m b^m :m \in \mathbb{N}\}$，并在期望指数时间内以有界错误识别语言 $L_{pal}=\{w \in \{a,b\}^*:w \text{ 是回文}\}$。我们通过展示 2QCFA 能够识别许多群的字问题来进一步证明其实力。特别地，具有单量子比特和代数数转移振幅的 2QCFA 能在期望多项式时间内以有界错误识别任意有限生成 virtually abelian 群的字问题，以及一大类线性群的字问题（在期望指数时间内）。后一类（真）包含所有具有上下文无关字问题的群。我们还给出了关于具有任意常数个量子比特的 2QCFA 的结果。作为一个推论，我们通过展示 $L_{eq}$ 可被参数更优的 2QCFA 识别，从而直接改进了 Ambainis 和 Watrous 的原始结果。作为另一推论，我们展示 2QCFA 能在期望多项式时间内识别某些非上下文无关语言。在 companion 论文中，我们证明了匹配的下界，从而表明在期望 $\mathit{subexponential}$ 时间内可被 2QCFA 以有界错误识别的语言类真包含于在期望 $\mathit{exponential}$ 时间内可被 2QCFA 以有界错误识别的语言类中。