Potts 模型与图的着色函数

Noble 和 Welsh 的 $U$-多项式已知与 Potts 模型以及几种重要的图多项式有着密切联系。对于每个图 $G$，$U(G)$ 等价于 Stanley 的对称坏着色多项式 $XB(G)$。此外，Sarmiento 建立了 $U$ 与 Brylawski 的多色色多项式（polychromate）之间的等价关系。Loebl 定义了图 $G$ 和三个独立变量 $q,x,y$ 的函数 $q$-二色多项式 $B_q(G,x,y)$，证明了它等于具有可变状态数和特定外场贡献的 Potts 模型的配分函数，并猜想 $q$-二色多项式等价于 $U$-多项式。他还提出了一个关于整数分拆的更强猜想。本文旨在实现两个目标：我们提出一个构造来反驳 Loebl 的整数分拆猜想，并引入一个新的函数 $B_{r,q}(G;x,k)$，它也等于具有可变状态数和（不同的）外场贡献的 Potts 模型的配分函数，且我们证明 $B_{r,q}(G;x,k)$ 等价于 $U$-多项式和 Stanley 的对称坏着色多项式。