椭圆曲线具有有理循环同态的可 adelic 索引

在 1970 年代，Serre 证明了特征 $p > 0$ 的域扩展 $L/K$ 若且唯一定位形式 \'etale。以此为灵感，我们探讨了特征 $p$ 意义下，$\mathbf{F}_p$-代数间映射 $R \to S$ 的形式 \'etale 属性是否由相对 Frobenius $F_{S/R}$ 的同构性来刻画。虽然 $F_{S/R}$ 同构意味着 $R \to S$ 为形式 \'etale，但在非 Noether 情形下，反向结论不成立。因此，遵循 Morrow 的做法，我们引入了形式 \'etale 属性的一个增强版本，称为 b-nil (有界零) 形式 \'etale，并证明 $F_{S/R}$ 同构当且仅当 $R \to S$ 为 b-nil 形式 \'etale。我们通过首先建立 b-nil 形式光滑映射的若干结构性质来证明此结果，这些映射类似于形式光滑情形下所定义的结构。我们的结构结果表明，b-nil 形式光滑（或 \'etale）属性与形式光滑（或 \'etale）属性截然不同。例如，我们证明任何 b-nil 形式光滑代数在 $F$-纯净环上都是无零因子的，而通过 Bhatt 的构造，在 $\mathbf{F}_p$ 上存在非无零因子的形式 \'etale 代数。我们还表明 b-nil 形式 \'etale 属性既不蕴含也不被蕴含于正切复合。我们探讨了形式光滑（或 \'etale）是否蕴含 b-nil 形式光滑（或 \'etale）在素数特征中。对于理想 adic 完成，问题得到令人满意的答案。