来自 $\mathbb{Q}$-曲线的 $X_1(N)$ 上奇数次散点

如果曲线 $C$ 上次数至多为 deg$(x)$ 的点只有有限多个，则称 $C$ 上的闭点 $x$ 为散点。在 $C$ 为模曲线 $X_1(N)$ 的情形下，大多数已知的散点示例来自具有复乘（CM）的椭圆曲线。我们试图理解 $X_1(N)$ 上对应于 $\mathbb{Q}$-曲线的所有散点，这些曲线是与其 Galois 共轭同源的椭圆曲线。该类不仅包含所有 CM 椭圆曲线，还包含任何与具有有理 $j$-不变量的椭圆曲线 $\overline{\mathbb{Q}}$-同源的椭圆曲线等。在本文中，我们证明所有产生奇数次散点的非 CM $\mathbb{Q}$-曲线均位于 $j$-不变量为 $-140625/8$ 的椭圆曲线的 $\overline{\mathbb{Q}}$-同源类中。此外，我们证明该有限性结果的更强版本将蕴含 Serre 一致性猜想。