亨特金拱筛的普拉特问题与弹簧的正交性

给定平面上有限个外力。假设这些力之和为零，其净扭矩也之和为零。则可证明存在一系統弹簧，其边界力恰好抵消这些外力。我们将问题推广到更高维度，借助弹性材料的应力张量。给定一系統弹簧，可将每个弹簧的长度乘以其对应的弹性系数，然后求和。得到的结果称为该系統的总质量。我们关心的是给定边界条件下，寻找最小弹簧系統的普拉特问题。这种最小化问题最初由 A. 米切尔于 1904 年提出。他指出，最小值可能是连续的。米切尔拱筋因此在机械工程领域广为人知，引起了人们对最优设计的关注，如最小化桥梁建造成本。在 1960 年代和 1970 年代，人们借助偏微分方程和凸分析学术地发展了该问题，引入等价的对偶最大化问题。2008 年，Bouchitté、Gangbo 与 Sppecher 引入主方向作用线，以一般化亨克-普兰德尔网至更高维度的对偶性，并证明只要最小值存在，就可找到其最小值。在 Gangbo 未发表的笔记中，他还指出如果同种弹簧是最优的。本文将使用 GMT 中的两种不同工具来求解普拉特问题：首先，最小值可视为平链复合体；其次，最小值也可视为当前。最后，我们将展示在发现最小值拓扑性质方面的一个进展：压缩和拉伸的弹簧必须在非边界点上彼此垂直。我感谢我的导师罗伯特·哈特特教授在本问题上定期与我交流。