主丛上的 Petersen–Wilhelm 猜想

本文研究 $\mathrm{S}^3$、$\mathrm{SO}(3)$ 主丛上的 Cheeger 形变，以获得正截面曲率浸没度量的条件。我们特别地得出，对于主丛类，Petersen–Wilhelm 纤维维数猜想的一个更强版本成立。我们证明：任何以正曲率底空间为基的 $\pi: \mathrm{SO}(3), \mathrm{S}^3 \hookrightarrow \cal P \rightarrow B$ 主丛，当且仅当该浸没是胖浸没（特别地，$\dim B \geq 4$）时，容许正截面曲率的度量。证明结合了 Munteanu 与 Tapp \cite{tappmunteanu2} 提出的“好三元组”概念，以及 Chaves–Derdzisnki–Rigas 型的非负曲率条件。此外，该猜想在其他几类浸没上也得到验证。