具有反馈的投球入箱过程中垄断的出现

考虑一个投球入箱过程,其中每个新球以正比于 f(n) 的概率进入给定箱子,其中 n 是该箱子当前球数,f 是一个固定的正函数。已知这些所谓的具有反馈的投球入箱过程有一个垄断机制:若 f(x)=x^p 且 p>1,则存在一个有限时间,此后其中一个箱子将接收所有 incoming 球。本文的目标是量化垄断的出现。我们证明,若初始球数很大且箱子 1 以比例 \alpha>1/2 的球开始,则以其极高概率其占总球数的份额从不显著降至 \alpha 以下。因此,在“大时间”获得超过一半球的箱子极可能保持其领先地位。然而,在系统中有 n 个球后,获胜箱子具有不可忽略优势的概率约为 C n^{1-p},且失败箱子中的球数具有幂律尾。类似结果对更一般的 f 函数也成立。