具有时间齐次空间 Wiener 过程的一维随机 Keller--Segel 模型

趋化性是细胞与生物体的基本机制，负责将微生物吸引至食物、将胚胎细胞引入发育组织或将免疫细胞引至感染部位。在数学上，趋化性由 Patlak--Keller--Segel 模型描述。该宏观方程组是在研究极限行为时由微观模型导出。然而，在取极限并由微观方程过渡到宏观方程时，涨落被忽略。用高斯随机场扰动系统恢复了系统固有的随机性。这给予我们研究受随机过程扰动的经典 Patlak--Keller--Segel 系统的动机。我们研究经典 Patlak--Keller--Segel 系统的随机版本，在区间 $\mathcal{O}=[0,1]$ 上具齐次 Neumann 边界条件。特别地，令 $\mathcal{W}_1$、$\mathcal{W}_2$ 为过滤概率空间 $\mathfrak{A}$ 上的两个时间齐次空间 Wiener 过程。令 $u$ 与 $v$ 分别表示细胞密度与化学信号浓度。我们考察耦合系统 \begin{align*} & d {u} - ( r_u\Delta u- \chi {\rm div }( u\nabla v) )\, dt =u\circ d\mathcal{W}_1, \\ & d{v} -(r_v \Delta v -\alpha v)\, dt = \beta u \, dt+ v\circ d\mathcal{W}_2, \end{align*} 具初值 $(u(0),v(0))=(u_0,v_0)$。正项 $r_u$ 与 $r_v$ 分别为细胞与趋化剂的扩散率，正值 $\chi$ 为趋化敏感性，$\alpha\ge0$ 为所谓阻尼常数。噪声按 Stratonovich 意义理解。给定 $T>0$，我们将证明在 $[0,T]$ 上鞅解的存在性。