多项式 Riccati 方程的多项式解个数

考虑实或复多项式 Riccati 微分方程 $a(x) \dot y=b_0(x)+b_1(x)y+b_2(x)y^2$，其中所有涉及的函数均为次数至多为 $\eta$ 的多项式。我们证明了多项式解的最大个数为 $\eta+1$（当 $\eta\ge 1$ 时）（相应地为 $2$（当 $\eta=0$ 时）），且这些界是紧的。对于实三角多项式 Riccati 微分方程，其中所有函数均为次数至多为 $\eta\ge 1$ 的三角多项式，我们证明了类似的结果。在这种情况下，三角多项式解的最大个数为 $2\eta$（当 $\eta\ge 2$ 时）（相应地为 $3$（当 $\eta=1$ 时）），且这些界同样是紧的。尽管两个结果的证明起点相同，即断言 Riccati 微分方程的四个不同解的交比恒定的经典结论，但三角情形要复杂得多。主要原因是由于三角多项式环不是唯一分解整环。