随机有向无环图中的后代节点数量

我们考虑一个著名的 n 阶随机有向无环图模型：通过递归添加顶点得到，其中每个新顶点具有固定出度 $d\ge2$，且其 $d$ 条边的端点在前已存在的顶点中均匀随机选取。我们的主要结果涉及作为 n 的后代的顶点数 $X$。我们证明 $X/\sqrt n$ 依分布收敛；该极限分布（差一常数因子）由 Gamma 分布变量的 $d$ 次方根给出，即 $\Gamma(d/(d-1))$。当 $d=2$ 时，该极限分布也可描述为卡方分布 $\chi(4)$。我们还证明了矩的收敛，并由此得到均值及高阶矩的渐近性。