优先连接图中的后裔数量

我们研究在标准优先连接图中，从最后添加的顶点 $n$ 出发可通过有向路径到达的顶点数 $X^{(n)}$（即后裔）。在该模型中，顶点依次添加，每个顶点产生时的出度为 $m\ge 2$；每条出边的端点在先前添加的顶点中选取，其概率与该顶点的当前度数加上某个数 $\rho$ 成正比。我们证明了当 $n\to\infty$ 时，$X^{(n)}/n^\nu$ 依分布收敛，其中 $\nu$ 取决于 $m$ 和 $\rho$，且极限分布由一个常数因子与一个 Gamma(m/(m-1),1) 变量的 $(1-\nu)$ 次幂的乘积给出。证明使用了优先连接图的 P\'olya 罐表示，以及 Janson (2024) 在均匀连接图中研究相同问题的论证。我们还提供了进一步的结果，包括所有矩的收敛性以及针对可能存在自环版本的类似结果。