归一化数值值域与 Davis-Wielandt 壳

对于给定的 $n$ 阶方阵 $A$,其归一化数值值域 $F_N(A)$ 定义为函数 $f_{N,A}\colon x\mapsto (x^*Ax)/(\norm{Ax}\cdot\norm{x})$ 在 $\ker A$ 的补集上的值域。我们对 $A$ 为正规矩阵或 $n=2$ 的情形给出了该集合的显式描述。这一对先前关于 $2$ 阶方阵特例(Gevorgyan)以及任意阶本质 Hermitian 矩阵(A. Stoica 与本文作者之一)结果的推广,得益于将 $F_N(A)$ 视为 Davis-Wielandt 壳 $\JNR(A)$ 在某个非线性映射 $h\colon\R^3\mapsto\C$ 下的像这一全新视角。