非含幺赋范代数及其单位化中的空间数值域

设$(A, \|\cdot\|)$为任意赋范代数(不必完备也未必含幺)。设$a \in A$,令$V_A(a)$表示$a$在$(A, \|\cdot\|)$中的空间数值域。令$A_e = A + {\mathbb C} 1$为$A$的单位化。若$A$是忠实的,则在$A_e$上得到两个范数:算子范数$\|\cdot\|_{op}$与$\ell^1$-范数$\|\cdot\|_1$。令$A^{op} = (A, \|\cdot\|_{op})$、$A_e^{op} = (A_e, \|\cdot\|_{op})$以及$A_e^1 = (A_e, \|\cdot\|_1$。我们可以计算$a$在这三个赋范代数中的空间数值域。由于空间数值域高度依赖于单位元以及范数的完备性和正则性,它们是不同的。本文研究它们之间的关系。在\cite{BoDu:71, BoDu:73}中证明的大部分结果将成为我们结果的推论。我们还将说明\cite[Theorem 2.3]{GaHu:89}中并不需要范数的完备性和正则性。