ballean 的正规性与有界增长

所谓 ballean,我们理解为一个集合 $X$ 赋予一族毗连关系,该族是 $X$ 上某个粗结构的基。给定两个无界 ballean $X,Y$,其乘积 $X\times Y$ 正规,我们证明 ballean $X,Y$ 具有有界增长,且 $X\times Y$ 的幼体学有一个线性有序基。一个 ballean $(X,\mathcal E_X)$ 被称为具有有界增长,如果存在函数 $G$,将每点 $x\in X$ 映为一个有界子集 $G[x]\subset X$,使得对任意有界集 $B\subset X$,并集 $\bigcup_{x\in B}G[x]$ 有界,且对任意毗连关系 $E\in\mathcal E_X$,存在有界集 $B\subset X$ 使得对所有 $x\in X\setminus B$ 有 $E[x]\subset G[x]$。我们证明两个 ballean 的乘积 $X\times Y$ 具有有界增长当且仅当 $X$ 与 $Y$ 具有有界增长且乘积 $X\times Y$ 的幼体学有线性有序基。我们还证明,若 ballean $X$ 的对称平方 $[X]^{\le 2}$ 正规(且 ballean $X$ 非超正规),则 $X$ 具有有界增长(且其幼体学有线性有序基)。若对某个 $n\ge 3$ 及某个子群 $G\subset S_n$,$X$ 的 $G$-对称 $n$ 次幂 $[X]^n_G$ 正规,则 ballean $X$ 具有有界增长且其幼体学有线性有序基。另一方面,我们证明对任意超正规离散 ballean $X$ 及每个 $n\ge 2$,幂 $X^n$ 不正规但 $X$ 的超对称幂 $[X]^{\le n}$ 正规。我们还证明群的有限 ballean 正规当且仅当其具有有界增长当且仅当该群可数。