Lucas 立方中完美码的存在性与不存在性

维度为 n 的 Fibonacci 立方，记为 $\Gamma$ n，是 n 维立方 5 Q n 中由不含连续 1 的顶诱导出的子图。Ashrafi 及其合作者证明了对于 n $\ge$ 4，$\Gamma$ n 中完美码的不存在性。作为开放问题，作者建议考虑 Fibonacci 立方的推广中完美码的存在性。最直接的推广是族 $\Gamma$ n (1 s)，即由不含子串 1 s 的字符串诱导出的子图，其中 s $\ge$ 2 为给定整数。在先前工作 10 中，我们证明了对于任意整数 p $\ge$ 2，当 n = 2 p -- 1 且 s $\ge$ 3.2 p--2 时，$\Gamma$ n (1 s) 中完美码的存在性。Lucas 立方 $\Lambda$ n 是通过从 $\Gamma$ n 中移除以 1 开头和结尾的顶点得到的。通常相同的问题会在 Fibonacci 立方和 Lucas 立方上被研究。在本注记中，我们证明了对于 n $\ge$ 4，$\Lambda$ n 中完美码的不存在性，并 15 证明了在某些广义 Lucas 立方 $\Lambda$ n (1 s) 中完美码的存在性。