模群在单孔环面上的实 SL(2)-特征标上的作用
摘要
多项式 kappa(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - xyz -2 的自同构群 Gamma 同构于 PGL(2,Z) 与 (Z/2+Z/2) 的半直积。对于 t ∈ R,Gamma 在 ktR = kappa^{-1}(t) ∩ R 上的作用展现出丰富且多样的动力学行为。Gamma 的作用保持一个 Poisson 结构,该结构在每一个 ktR 上定义了一个 Gamma-不变面积形式。当 t < 2 时,Gamma 在 ktR 的四个可缩分支上的作用是真不连续的,而在紧分支上是遍历的(若 t < -2 则该分支为空)。这些可缩分支对应于环面 M-bar 上(可能奇异的)双曲结构的 Teichmueller 空间。当 t = 2 时,水平集 ktR 由可约表示的特征标组成,并包含两个遍历分支,分别对应于 GL(2,Z) 在 (R/Z)^2 与 R^2 上的作用。当 2 < t ≤ 18 时,Gamma 在 ktR 上的作用是遍历的。对应于三孔球面的 Fricke 空间的是一个 Gamma-不变开集 Omega ⊂ R^3,其分支被 Gamma 中指数为 6 的子群自由置换。水平集 ktR 与 Omega 相交当且仅当 t > 18,此时 Gamma 在补集 ktR - Omega 上的作用是遍历的。
引用
@article{arxiv.math/0305096,
title = {The Modular Group Action on Real SL(2)-characters of a One-Holed Torus},
author = {William M. Goldman},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0305096},
year = {2014}
}
备注
Published by Geometry and Topology at http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/GTVol7/paper13.abs.html Note: Version 4 takes account of the referee's comments (version 3 was published in error)