排列的最小曼哈顿距离与最小跳跃

设 $\pi$ 为 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的一个排列。如果将排列与其图（即位于位置 $(i,\pi(i))$ 的 $n$ 个点的集合）等同起来，考虑任意一对点之间的最小 $L^1$（曼哈顿）距离 $d(\pi)$ 是很自然的。本文计算了当 $n\rightarrow\infty$ 且 $\pi$ 均匀选取时 $d(\pi)$ 的期望值（及高阶矩），并解决了 Bevan、Homberger 和 Tenner 的猜想（该猜想由排列模式引出），证明了当 $d$ 固定且 $n\rightarrow\infty$ 时，$d(\pi)\geq d+2$ 的概率趋于 $e^{-d^2 - d}$。$\pi$ 的最小跳跃 $mj(\pi)$ 定义为 $mj(\pi)=\min_{1\leq i\leq n-1} |\pi(i+1)-\pi(i)|$，是此背景下的另一种自然度量。本文计算了 $mj(\pi)$ 的渐近矩，以及对于任意常数 $d$，$mj(\pi)\geq d+1$ 的渐近概率。