与正方形相关的最大 Beurling 变换

已知改进的 Cotlar 不等式 $B^{*}f(z) \le C M(Bf)(z)$，$z\in\mathbb C$，对 Beurling 变换 $B$、最大 Beurling 变换 $B^{*}f(z)=$ $\displaystyle\sup_{\varepsilon >0}\left|\int_{|w|>\varepsilon}f(z-w) \frac{1}{w^2} \,dw\right|$，$z\in\mathbb C$，以及 Hardy--Littlewood 最大算子 $M$ 成立。在本注记中，我们考虑与正方形相关的最大 Beurling 变换，即 $B^{*}_Sf(z)=\displaystyle\sup_{\varepsilon >0}\left|\int_{w\notin Q(0,\varepsilon)}f(z-w) \frac{1}{w^2} \,dw \right|$，$z\in\mathbb C$，其中 $Q(0,\varepsilon)$ 是边长为 $\varepsilon$ 且边平行于坐标轴的正方形。我们证明了 $B_{S}^{*}f(z) \le C M^2(Bf)(z)$，$z\in\mathbb C$，其中 $M^2=M \circ M$ 是 Hardy--Littlewood 最大算子的迭代，且 $M^2$ 不能被 $M$ 替代。