有限域上 k 距离的马蒂拉-约林德问题

设 $\mathbb{F}_q^d$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的 $d$ 维向量空间，$\mathbb{F}_q$ 包含 $q$ 个元素。对于 $x\in \mathbb{F}_q^d$，记 $\|x\| = x_1^2+\dots+x_d^2$。按惯用表述，我们称 $\|\cdot\|$ 为 $\mathbb{F}_q^d$ 上的一个范数。对于子集 $E\subset \mathbb{F}_q^d$，记 $\Delta(E)$ 为 $E$ 的距离集合，定义为 $\Delta(E):=\{\|x-y\| : x, y \in E \}$。马蒂拉-约林德问题寻求最小指数 $\alpha>0$，使得 $\Delta(E) =\mathbb{F}_q$ 对所有子集 $E \subset \mathbb{F}_q^d$ 均成立，其中 $|E| \geq Cq^\alpha$。本文考察该问题的一个变体，即生成比 $\|\cdot\|$ 小的距离集合的范数。具体做法是将 $\|\cdot\|$ 替换为所谓的 $k$ 范数 $(1 \leq k \leq d)$，可视为 $\|\cdot\|$ 的一种变形。为推导关于 $k$ 范数的马蒂拉-约林德问题结果，我们采用组合方法分析离散傅里叶机器产生的各种求和。尽管我们的距离集合小于马蒂拉-约林德问题中的距离集合，但对于某些 $k$，我们仍能获得与 Iosevich 和 Rudnev (2007) 相同的结果，该文处理的是马蒂拉-约林德问题。此外，我们的结果在所有奇数维数中都是尖锐的。