Mather 测度与熵惩罚法的大偏差原理

当拉格朗日量 $L$ 为一般情形时（此时 Mather 测度 $\mu$ 唯一且 $\mu$ 的支集为 Aubry 集），我们提出了熵惩罚 Mather 问题的大偏差原理。考虑对于每个 $\epsilon$ 和 h 值，熵惩罚 Mather 问题 $\min \{\int_{\tn\times\rn} L(x,v)d\mu(x,v)+\epsilon S[\mu]\},$ 其中熵 $S$ 由 $S[\mu]=\int_{\tn\times\rn}\mu(x,v)\ln\frac{\mu(x,v)}{\int_{\rn}\mu(x,w)dw}dxdv$ 给出，且最小化是在满足完整约束的概率密度空间 $\mu(x,v)$ 上进行的。根据 D. Gomes 和 E. Valdinoci 的结果，存在一个收敛于 Mather 测度 $\mu$ 的极小化测度 $\mu_{\epsilon, h}$。我们展示了一个大偏差原理 (LDP) $\lim_{\epsilon,h\to0} \epsilon \ln \mu_{\epsilon,h}(A),$ 其中 $A\subset \mathbb{T}^N\times\mathbb{R}^N$。偏差函数 $I$ 由 $I(x,v)= L(x,v)+\nabla\phi_0(x)(v)-\bar{H}_{0}$ 给出，其中 $\phi_0$ 是 $L$ 的唯一粘性解。