一类高斯过程熵产生率的大偏差

我们证明了以下 $d$ 维随机微分方程的熵产生率（EPR）的大偏差原理（LDP）与涨落定理（FT）\begin{equation*} d X_{t}=AX_{t} d t+\sqrt{Q} d B_{t} \end{equation*} 其中 $A$ 为实正规稳定矩阵，$Q$ 正定，且矩阵 $A$ 与 $Q$ 可交换。EPR 的速率函数具有以下显式形式：\begin{equation*} I(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x\frac{\sqrt{1+\ell_0(x)}-1}{2}+\frac 12\sum\limits_{k=1}^{d} \left(\sqrt{\alpha_k^2- \beta_k^2\ell_0(x)}+\alpha_k\right) , & x\ge 0 , \ -x\frac{\sqrt{1+\ell_0(x)}+1}{2} +\frac 12\sum\limits_{k=1}^{d} \left(\sqrt{\alpha_k^2- \beta_k^2\ell_0(x)}+\alpha_k\right) , &x<0, \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\alpha_{k}\pm {\rm i} \beta_{k}$ 为 $A$ 的特征值，$\ell_0(x)$ 为方程的唯一解：\begin{align*} |x|={\sqrt{1+\ell}} \times \sum_{k=1}^{d} \frac{\beta_k^2}{\sqrt{\alpha_k^2 -\ell\beta_k^2} },\qquad -1 \le \ell< \min_{k=1,...,d}\{\frac{\alpha_k^2}{\beta_k^2}\}. \end{align*} 速率函数的简单闭式公式十分罕见，我们的工作确定了一类可获得此类公式的重要大偏差问题。与 LDP 相关的对数矩生成函数（涨落函数）$\Lambda$ 具有闭式（见文中）。函数 $\Lambda(\lambda)$ 与 $I(x)$ 满足 Cohen-Gallavotti 对称性质。特别地，函数 $I$ 与 $\Lambda$ 不依赖于扩散矩阵 $Q$，而完全由 $A$ 的特征值的实部与虚部决定。形式上，取 $Q=0$ 的确定性系统具有零 EPR，因此该模型展现出相变，即 EPR 在 $Q = 0$ 处发生不连续变化。