图的$\mathbb{F}_2$-秩与规模

我们考虑阶为$2^n$的图的极值族：其中没有两个顶点具有相同的邻域，但其邻接矩阵在二元域上的秩仅为$n$。代数几何中先前的结果表明，此类图对所有偶数$n$均存在，而对奇数$n$不存在。本文为这一结果提供新的组合证明，从而更深入地揭示具有这些性质的图的结构。我们引入一种与Kronecker积密切相关的新型图乘积，并给出对任意偶数$n$构造此类图的方法。此外，我们表明这是一个强正则拟随机图的无限族，其带符号邻接矩阵为对称Hadamard矩阵。反之，我们给出组合证明：对所有奇数$n$，不存在极小$\mathbb{F}_2$-秩的无孪生图，而次优的可能秩$(n+1)$是可达到的，且为紧的。