Maslov指标与可积系统的非退化奇点

我们考虑$\mathbb{R}^{2n}$中具有对合运动积分$F = (F_1,...,F_n)$的可积哈密顿系统。非退化奇点是$F$的临界点，满足秩$dF = n-1$且具确定的线性稳定性。非退化奇点集合是一个余二维辛子流形，在流下不变。我们证明闭曲线的Maslov指标等于其所包围的非退化奇点贡献$\pm 2$之和，符号取决于奇点处的局部定向与稳定性。对一自由度系统，这对应于众所周知的闭曲线Poincaré指标的公式，即其所包围的椭圆与双曲不动点数目之差的定向和。我们还得到了非退化奇点集中不变$(n-1)$维环面的Lyapunov指数的公式。例子包括旋转对称$n$自由度哈密顿量，而对周期Toda链的应用在另一文中描述。