非协调有限元方法下椭圆算子特征值的下界

本文旨在引入一种能够生成特征值下界的新系统方法。其核心思想是利用非协调有限元方法。本文的主要结论是：若非协调有限元空间 $V_h$ 的局部逼近性质优于其全局连续性性质，则相应的数值方法将产生特征值的下界。更确切地说，基于非协调有限元空间连续性与逼近性质的三个条件，我们首先给出了近似特征值和特征函数的抽象误差估计。随后，我们提出了一个额外条件，并证明该条件足以保证非协调有限元方法产生对称椭圆算子特征值的下界。作为一个应用，我们展示了该条件适用于文献中大多数非协调单元。作为另一个重要应用，该条件为修正文献中已知的非协调单元及提出新的非协调单元提供了指导。事实上，我们对 Crouzeix-Raviart 单元进行了局部扩充，使得新单元满足该条件；我们针对二阶椭圆算子提出了一种新的非协调单元，并证明了其能给出特征值的下界。最后，我们证明了大多数非协调单元的饱和条件。